חורף 2024 – שאלה 1 סעיף אאינדוקציה 571 · בגרות 571

אינדוקציה · שאלון 571

חורף 2024 – שאלה 1 סעיף א

פרק 6 – שאלות בגרות 571 – אינדוקציה

1נוסח השאלה

2סעיף א – הוכחה באינדוקציה על הזוגיים

📄 נוסח השאלה

הוכיחו באינדוקצייה או בדרך אחרת שלכל n טבעי זוגי מתקיים:

48 + 144 + 288 + … + 6n(n + 2)

= n(n + 2)(n + 4)

סעיף א – הוכחה באינדוקציה על הזוגיים

48 + 144 + 288 + … + 6n(n + 2)
= n(n + 2)(n + 4)

הטענה היא על n = 2, 4, 6, …. הבסיס n = 2, והצעד מ־k אל k + 2.

שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בדיקה בעבור n = 2

📐 אינדוקציה על המספרים הזוגיים

אגף שמאל: 6 · 2 · 4 = 48. אגף ימין:

2 · 4 · 6 = 48 ✓

שלב 2 – הנחת האינדוקציה:

נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k זוגי כלשהו:

48 + … + 6k(k + 2)

= k(k + 2)(k + 4)

📐 אינדוקציה על המספרים הזוגיים

1. בסיס: בדיקה בעבור n = 2
2. הנחה: נכון בעבור n = k זוגי
3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 2
4. מסקנה: נכון לכל n זוגי

סעיף א – הוכחה באינדוקציה על הזוגיים · המשך

48 + 144 + 288 + … + 6n(n + 2)
= n(n + 2)(n + 4)

= k(k + 2)(k + 4)

שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 2

צריך להוכיח:

האיבר החדש: 6(k + 2)(k + 4).

48 + … + 6k(k + 2)

+ 6(k + 2)(k + 4)

= (k + 2)(k + 4)(k + 6)

נציב את ההנחה:

📐 הנחת האינדוקציה

= k(k + 2)(k + 4)

📐 הנחת האינדוקציה

48 + … + 6k(k + 2)
= k(k + 2)(k + 4)

סעיף א – הוכחה באינדוקציה על הזוגיים · המשך

48 + 144 + 288 + … + 6n(n + 2)
= n(n + 2)(n + 4)

= k(k + 2)(k + 4)

+ 6(k + 2)(k + 4)

נוציא גורם משותף (k + 2)(k + 4):

📐 הוצאת גורם משותף

= (k + 2)(k + 4)(k + 6) ✓

שלב 4 – מסקנה:

הטענה נכונה בעבור n = 2, והוכחנו שאם היא נכונה בעבור n = k זוגי אז היא נכונה גם בעבור n = k + 2. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי זוגי.

✅ פתרון סופי: הוכח ✓

📐 הוצאת גורם משותף

ab + ac = a(b + c)

📌 ארבעת השלבים של הוכחה באינדוקציה

📐 בסיס והנחה

1. בסיס: בודקים בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k

📐 צעד ומסקנה

3. צעד: מוכיחים בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

💡 בצעד תמיד מפרידים את האיבר האחרון ומציבים את הנחת האינדוקציה.

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא